##

# Proprietatile algebrei booleene

## George Boole

Sursa: http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/origins-of-boolean-algebra-in-the-logic-ofclasses- george-boole-john-venn-and-c-s-peirce
George Boole (n. 2 noiembrie 1815 la Lincoln - d. 8 decembrie 1864 la Ballintemple, Cork) a fost matematician, logician si filozof britanic. A fost creatorul logicii matematice moderne, al algebrei booleene, care, mai tarziu, va sta la baza informaticii si a realizarii computerului.

## Algebra booleana

Definitie Algebra booleana = o structura algebrica formata din:
-O multime A
-Doua operatii binare notate cu (+) si (•)
O operatie unara notata cu (') pentru care sunt valabile 6 axiome.
Axiomele algebrei booleene
1.Multimea A contine cel putin doua elemente diferite
2.Axioma inchiderii: operatiile (+) si (•) sunt operatii interne adica: ∀x,y∈A (i) x+y ∈A (ii) x•y ∈A
3.Existenta elementelor neutre pentru operatiile binare
- (i) ∃ element neutru fata de operatia (+) notat cu 0 a.î.: ∀x∈A , x+0=x
-(ii) ∃ element neutru fata de operatia (•) notat cu 1 astfel incat ∀x∈A, x• 1=x
4.Comutativitate ∀x,y∈A (i) x+y=y+x (ii) x•y=y•x
5.Distributivitatea ∀x,y ∈A (i) x+(y•z) =(x+y)•(x+z) (ii) x•(y+z)=x•y+x•z.
6.Existenta elementului opus ∃x ∈A, exista elementul opus lui x, notat x' astfel incat:
(i) x+x'=1
(ii) x•x'=0
Denumirea operatiilor
- Operatia " + " se numeste suma logica, adunare logica, surjectie si o vom numi pe scurt suma
- Operatia " • " se numeste produs logic, inmultire logica, conjunctie si o vom numi pe scurt produs
- Operatia " ' " se numeste negare sau complementare
Prioritatea operatiilor
In cadrul unei algebre booleene operatiile au urmatoarea prioritate:
( ) - expresiile din paranteza
' - operatia de complementare
• - operatia de inmultire logica
+ - operatia de sumare logica
Principiul dualitatii
-Axiomele algebrei booleene sunt prezentate in perechi, fiecare axioma din pereche fiind duala celeilalte.
-O axioma se poate obtine din duala sa modificând operatia "+" cu operatia "•" si elementul 0 cu elementul 1(si invers).
Exemplu: existenta elementului opus
(i)x + x' = 1
(ii)x • x' = 0
Proprietatile algebrei booleene
-Idempotenta ∀x∈A - (i) x + x = x (ii) x•x = x
-Proprietatile lui 0 si 1 ∀x∈A - (i) x+1=1 (ii) x• 0 = 0
-Unicitatea lui 0 si 1 - elementele 0 si 1 sunt unice
-Unicitatea elementului opus- pentru ∀x∈A , x' este unic
-Distinctia dintre 0 si 1 - elementele 0 si 1 sunt distincte
-Involutia ∀x∈A, (x')'=x
-Absorbtia ∀x,y∈A (i) x + x•y = x (ii) x•(x+y) = x
-Asociativitatea ∀x,y,z∈A (i) x + (y + z) = (x + y) + z (ii) x • (y • z) = (x • y) • z
-De Morgan ∀x,y∈A (i) (x + y)' = x' • y' (ii) (x • y)' = x' + y'